Double échelle logarithmique

Sur ce schéma, on place l’une contre l’autre deux règles graduées, de sorte que les graduations augmentent dans le sens opposé :

En se plaçant n’importe où sur le bord commun de ces règles, on lit deux valeurs dont la somme vaut 10.

Ainsi, si on a une loi physique disant que la somme de 2 nombres vaut 10, alors avec ces deux règles on peut trouver l’un des nombres connaissant l’autre.

Si la constante est différente de 10, il suffit de décaler les règles l’une par rapport à l’autre :

D’autre part, une graduation logarithmique permet de transformer une addition en multiplication. Cette propriété est exploitée dans les règles à calculs :

Ces deux règles (placées dans le même sens) sont graduées en échelle logarithmique :

• l’origine est « 1 » au lieu de « 0 ».
• la graduation « 2 » se trouve en réalité à une distance « log(2) » de l’origine.

En amenant l’origine de la règle inférieure sous la graduation « 2 » de la règle supérieure, alors au niveau du « 3 » inférieur on lit « 6 » : on fait en fait l’addition de la distance log(2) et de la distance log(3). Or, log(2)+log(3)=log(2×3)=log(6). On peut transformer une addition de longueurs en une multiplication de nombres.

En combinant les deux propriétés ci-dessus (d’une part : 2 règles inversées, donnant une somme constante, et d’autre part : transformation d’additions en multiplications), on peut imaginer un système de deux règles à échelles logarithmiques, variant en sens inverse, et disposées de façon à associer des nombres dont le produit est constant.

Une telle loi physique peut se rencontrer au lycée : la loi de WIEN.

Dans le modèle du corps noir, la longueur d’onde du maximum d’émission d’un corps est reliée à la température de surface T du corps : le produit de la longueur d’onde par la température est égal à 2900 µm.K environ.

Sur le schéma précédent, l’échelle supérieure est pour la longueur d’onde, variant de 0.2 à 1.4 µm. L’échelle inférieure – qui augmente dans l’autre sens – représente la température de surface (de 2000 à 14 000 kelvin).

Le décalage a été ajusté pour que la graduation supérieure « 1 » soit en face de « 2900 ».

Le modèle du corps noir est appliqué à certains corps très chauds (filament d’une ampoule, étoile). En connaissant la longueur d’onde du maximum d’émission d’une étoile, on déduit directement sa température de surface, et inversement.

Par exemple : si la longueur d’onde vaut 0.45 µm, on lit directement T = 6450 K.

Si T = 3500 K, alors la longueur d’onde vaut 0.83 µm.

Notre Soleil émet un rayonnement avec un maximum à 0.52 µm environ, soit une température de surface de 5800 K. L’étoile Sirius présente un maximum pour 0.29 µm, soit une température voisine de 10 000 K.

La précision de cette échelle double est limitée par les sous-graduations. Cependant, il est possible d’amplifier l’échelle de ce tracé dans le sens horizontal, sans perte de la correspondance des nombres. On peut également sélectionner une gamme restreinte de valeurs :

Un exemple en chimie : le produit ionique de l’eau