Le Girasol

Une version moderne de l’astrolabe universel, pour prévoir la position du Soleil, les heures de lever et coucher, et plus encore…

Le Girasol est une adaptation de la saphea (ou astrolabe catholique) du Moyen-Âge. Il représente une projection stéréographique des arcs de la sphère céleste, dans laquelle les paramètres astronomiques sont reliés les uns aux autres.

Le chemin du Soleil le 20 mai, à la latitude 47° nord.

Les formules trigonométriques complexes issues de la trigonométrie sphériques y sont mises sous formes d’abaques, dans lesquels on peut lire la hauteur du Soleil à une date et une heure données, les heures de lever et de coucher, l’azimut et la déclinaison.

Réglage de la latitude

Cet instrument peut s’utiliser sous n’importe quelle latitude (nord et sud).

Lecture des heures et azimut de lever et de coucher du Soleil.
Lecture de la hauteur méridienne du Soleil : 63°.

Le Girasol constitue un bon instrument pédagogique pour expliquer :

  • les variations dans la durée du jour
  • les conditions de passage du Soleil au zénith (zone intertropicale)
  • les endroits du globe où le Soleil reste levé ou coucher pendant plusieurs semaines (au-delà du Cercle polaire)
  • dans quelles conditions le Soleil se lève exactement vers l’Est, ou au Nord-Est ou au Sud-Est.

Pour réaliser cet instrument, vous aurez besoin d’imprimer une page sur feuille bristol A4 et une page sur transparent A4.

Il suffit ensuite d’assembler ces deux éléments, de préférence avec une punaise en guise de pivot, afin que la partie mobile puisse tourner relativement à la partie fixe. On peut également utiliser un bouton pression en plastique destiné à être cousu sur du tissu.


Une notice d’utilisation (pdf 1.4 Mo), incluant les deux documents précédents :

Si vous ne pouvez pas imprimer sur transparent, voici les versions fixes, tracées chacune pour une latitude entière entre 42 et 51 ° (France métropolitaine, Suisse et Belgique).


Le tracé de l’instrument a été réalisé avec LaTeX. Voici le code source :

\documentclass[border=2mm,convert={ghostscript,outext=.png,}]{standalone}%avec ghostscript

%Compilé avec Xelatex
%Pour générer une image .png : dans un terminal dans le répertoire :
% xelatex -shell-escape <nom du fichier.tex>

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{fontspec}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor}
\colorlet{vert}{OliveGreen!70!black}
\colorlet{couleurmobile}{OliveGreen!80!black}
\colorlet{couleurmeridiens}{blue}
\colorlet{couleurparallelles}{orange!50!red}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{comment}

%-------------------------------------SCHEMAS
\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{decorations.text}
\usetikzlibrary{calc,scopes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}

\usepackage{calculator}
\mathcode`\.="013B%virgule décimale en mode math

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\tikzset{etiquette/.style={fill=white,inner sep=0pt}}

\def\R{10.0}%rayon du cercle extérieur
\def\Ra{9.5}%rayon du cercle intermédiaire
\def\rb{9.3}%rayon du cercle intérieur

\clip [draw](-1.1*\R,-1.1*\R) rectangle ++(2.2*\R,2.2*\R); %cadre entier

% \clip [draw](-0.3*\R,0.0*\R) rectangle ++(0.5*\R,1*\R); %pour découpages et zooms

\def\declin{20.1}
\def\latitude{49.5}
\draw (-0.8*\R,-0.8*\R)node{\Huge $\mathbf{\pgfmathprintnumber{\latitude}}$°};
\Large\bfseries\sffamily
\draw [decorate,decoration={text along path,raise=2pt,text=Girasol}](-150:\rb) arc (-150:-120:\rb);
\normalsize\normalfont

%cercle indicateur :
%  \draw [red,very thick](0,\rb) circle (0.5cm)node{+};

%Points repères
\coordinate (o) at (0,0);%centre
\coordinate (S) at (180:\rb);%Sud
\draw ({-(\R + \Ra)/2},0)node{S};
\coordinate (N) at (0:\rb);%Nord
\draw ({(\R + \Ra)/2},0)node{N};
\coordinate (Z) at (90:\rb);%Zénih
\draw (Z)++(0,0.5)node{Z};
% \coordinate (nadir) at (-90:\rb);%Nadir
% \draw (nadir)++(0,-0.5)node{nad};%Nadir

% cercles
\draw (o) circle (\R);
\draw (o) circle (\Ra);
\draw (o) circle (\rb);

%horizon
\draw[] (-\rb,0)--(\rb,0)node[pos=0.04,etiquette,above=2pt]{\textsc{horizon}}node[pos=0.97,etiquette,below=2pt]{\textsc{azim.}};
%trait vertical centre-Zénith
\draw [couleurmeridiens](o)--(90:\rb);
%graduations du limbe :
\foreach \l in {1,...,360} \draw (\l:\rb)--(\l:\Ra);
% graduations 5 en 5 plus longues
\foreach \l in {5,10,...,175,185,190,...,355} \draw (\l:\rb)--(\l:\Ra +0.2);

%graduations 10 en 10 : (hauteur et latitude)
\foreach \dl in {10,20,...,80} {
%quart NE
\draw (\dl:\Ra +0.12)node[rotate=\dl-90]{\footnotesize{\dl}};
%quart NW
\draw ({180-\dl}:\Ra +0.12)node[rotate=90-\dl]{\footnotesize{\dl}};
%quart SE
\draw ({-\dl}:\Ra +0.12)node[rotate=90-\dl]{\footnotesize{\dl}};
%quart SW
 \draw ({180+\dl}:\Ra +0.12)node[rotate=-90+\dl]{\footnotesize{\dl}};
}

%graduations en azimuth sur l'horizon
\foreach \azim in {10,20,...,170}{
\pgfmathsetmacro{\xpp}{-\rb*tan((90-\azim)/2)}%abscisse du point de passage
\draw (\xpp,0)++(0,-0.2)node{\azim};
}


%étiquettes "<latitude"> :
\draw [<-](-160:\Ra +.35) arc (-160:-178:\Ra +.35)node[midway,sloped,etiquette]{\textsc{lat. nord}};
\draw [<-](160:\Ra +.35) arc (160:178:\Ra +.35)node[midway,sloped,etiquette]{\textsc{lat.sud}};
%étiquettes "<hauteur"> :
\draw [<->](80:\Ra +.35) arc (80:53:\Ra +.35)node[midway,sloped,etiquette]{\textsc{hauteur}};
\draw [<->](127:\Ra +.35) arc (127:100:\Ra +.35)node[midway,sloped,etiquette]{\textsc{hauteur}};

% parallèles :
\begin{scope}
\clip circle (\rb);%limite les arcs mobiles à l'arc extérieur

%graduations de 10 en 10 :
\foreach \angle in {10,20,...,80}{
\pgfmathsetmacro{\ycentre}{\rb/sin(\angle)}% décalage en y du cercle
\pgfmathsetmacro{\rayon}{\rb/tan(\angle)}%rayon du parallèle
\draw [couleurparallelles](0,\ycentre) circle (\rayon);
}
%graduations de 5 en 5 :
\foreach \angle in {5,15,...,85}{
\pgfmathsetmacro{\ycentre}{\rb/sin(\angle)}% décalage en y du cercle
\pgfmathsetmacro{\rayon}{\rb/tan(\angle)}%rayon du parallèle
\draw [couleurparallelles,dashed](0,\ycentre) circle (\rayon);
}


%cercles des crépuscules
\foreach \crep/\nom in {6/civil,12/naut.,18/astron.}{
\pgfmathsetmacro{\ycentre}{-\rb/sin(\crep)}% décalage en y du cercle
\pgfmathsetmacro{\rayon}{\rb/tan(\crep)}%rayon du parallèle
\draw (0,\ycentre) circle (\rayon);
\draw ({180+\crep}:\rb)node[etiquette,right=2pt]{\nom};
}
\end{scope}%fin de l'étendu du clip cercle intérieur


%méridiens

%de 10 en 10 :
\foreach \az in {10,20,...,80}{
\pgfmathsetmacro{\xpp}{\rb*tan((90-\az)/2)}%abscisse du point de passage du méridien
\pgfmathsetmacro{\xcentre}{\rb*tan(\az)}%abscisse du centre du méridien
\pgfmathsetmacro{\rmerid}{\xcentre + \xpp}%rayon du cercle méridien
% \draw [couleurmeridiens](\xcentre,0) circle (\xcentre - \xpp);
\draw [couleurmeridiens] (\xpp,0) arc (0:{0.95*atan(1/tan(\az))}:{\rmerid});%arcs droite
\draw [couleurmeridiens] (-\xpp,0) arc (180:{180-0.95*atan(1/tan(\az))}:{\rmerid});%arcs gauche
}

%de 5 en 5 :
\foreach \az in {5,15,...,85}{
\pgfmathsetmacro{\xpp}{\rb*tan((90-\az)/2)}%abscisse du point de passage du méridien
\pgfmathsetmacro{\xcentre}{\rb*tan(\az)}%abscisse du centre du méridien
\pgfmathsetmacro{\rmerid}{\xcentre + \xpp}%rayon du cercle méridien
% \draw [couleurmeridiens](\xcentre,0) circle (\xcentre - \xpp);
\draw [couleurmeridiens,dashed] (\xpp,0) arc (0:{0.95*atan(1/tan(\az))}:{\rmerid});%arcs droite
\draw [couleurmeridiens,dashed] (-\xpp,0) arc (180:{180-0.95*atan(1/tan(\az))}:{\rmerid});%arcs gauche
}


%partie mobile (coordonnées équatoriales)

	\begin{scope}[rotate={-90+\latitude},thick,couleurmobile]
	%Ce "<scope"> englobe les parties devant pivoter selon la latitude

%indicateur de latitude
\draw [-Latex](o)--(0,-\rb)node[pos=0.85,etiquette,rotate=\latitude]{latitude};
%indicateur du pôle:
\draw [](o)--(0,\rb)node[pos=0.95,rotate=\latitude -90,draw,circle,inner sep=1pt,fill=white]{P} [fill=couleurmobile] circle (1pt);

		%lignes de déclinaisons :
		\draw [](180:\rb)--(0:\rb)node[pos=0.06,above,rotate=-90+\latitude,etiquette]{\textsc{Équateur}};
		\foreach \decl in {-23.4,-20.12,-11.5,11.5,20.12,23.4}{
		\pgfmathsetmacro{\ycentre}{\rb/sin(\decl)}% décalage en y du cercle
		\pgfmathsetmacro{\rayon}{\rb/tan(\decl)}%rayon du parallèle
		\clip circle (\rb);%supprime les arcs de cercles au-delà du cercle intérieur
		\draw (0,\ycentre) circle (\rayon);
		}
		%lignes horaires
		%le chemin suivant limite le tracé des cercles suivants aux déclinaisons extrêmes
		\path[clip](23.4:\rb) arc (-66.6:-156.6:{\rb/tan(23.4)})--(156.6:\rb) arc (156.6:203.4:\rb) --(203.4:\rb) arc (113.4:23.4:{\rb/tan(23.4)})--(-23.4:\rb) arc (-23.4:23.4:\rb)--cycle;
		\draw (90:{\rb/sin(23.4)}) -- (-90:{\rb/sin(23.4)});%ligne 6h-18h
		\foreach \hor in {5,10,...,85,95,100,...,175}{

		\pgfmathsetmacro{\xpp}{-\rb*tan((90-\hor)/2)}%abscisse du point de passage
		\pgfmathsetmacro{\xcentre}{\rb*tan(\hor)}%abscisse du centre
		\pgfmathsetmacro{\rligne}{\xcentre - \xpp}%rayon du cercle
		\draw (\xcentre,0) circle (\xcentre - \xpp);
		}%fin de la boucle de tracé des arcs de cercles horaires

%arc particulier de déclinaison
% \draw [red,very thick](0,{\rb/sin(\declin)}) circle ({\rb/tan(\declin)});

%graduations des heures :
\foreach \heure in {1,...,11}{
\draw ({\rb*tan((90-\heure*15)/2)},0.1)node[above,etiquette,inner sep=1pt,rotate=\latitude -90]{\textbf{\heure}};%heures du matin
\ADD{\heure}{12}{\hsoir}
\draw ({\rb*tan((90+(\heure -12)*15)/2)},-0.1)node[below,etiquette,inner sep=1pt,,rotate=\latitude -90]{\textbf{\hsoir}};%heures du soir
}


%étiquettes des déclinaisons :
\foreach \decl/\date in {23.4/A,20.12/B,11.5/C,0/D,-11.5/E,-20.12/F,-23.4/G}
\draw (\decl:0.9*\rb)node[etiquette,rotate=\latitude-90]{\date};

% ECLIPTIQUE
\draw [black]((23.4:\rb)--({180+23.4}:\rb)node[pos=0.966,above,etiquette,rotate={-90+\latitude+23.4}]{\scshape Éclipt.};

%graduation écliptique :
\foreach \grad in {-60,-30,0,30,60}
\filldraw[fill=white,draw=black,rotate=23.4]({\rb*tan(\grad/2)},0) circle (2pt);
	\end{scope}

%légende des déclinaisons :
\draw (-90:{0.8*\rb})node[align=left,couleurmobile,font=\bf]{A : 21 juin\\B : 20 mai et 22 juill. \\C : 19 avr. et 23 août\\D : 20 mars et 22 sep.\\ E : 19 fév. et 23 oct.\\F : 20 janv. et 22 nov.\\G : 21 déc.};

\end{tikzpicture}

\end{document}

Enfin, quelques considérations techniques concernant le tracé :

En projection stéréographique, tous les cercles de la sphère céleste ont un projeté en arc-de-cercle.

Dans la projection du Girasol, si on note R le rayon de l’instrument :

les arcs de méridiens sont des cercles centrés au point d’abscisse

 R\times \tan(\theta)

et coupant le diamètre horizontal au point d’abscisse

 R\times \tan(\dfrac{\theta-90}{2})

Les arcs de déclinaison (ou parallèles) sont des cercles centrés au point d’ordonnée

 \dfrac{R}{\sin \delta}

et coupant l’axe vertical au point d’ordonnée

 R\times \tan(\dfrac{\delta}{2})

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